כל מי ששואלים אותו את השאלה הזאת, עונה באינסטינקט "רבינו הקדוש".
האמנם?
גשו נא לארון הספרים, ופתחו את 'תוספות הרא"ש' על מסכת כתובות דף ב:
וזה לשונו:
"לא נשאו לא קתני אלא לא נישאו. יש מקשין מנא ידעינן דלא קתני נשאו, דלא נישאו נמי ניכתב בלא יו""ד, א"כ מצינן למיקרי לא נשאו כמו לא נישאו. ומתרצים דמדקדק מדקתני אוכלות משלו, ואי קתני לא נשאו א"כ בבעלים איירי, א"כ הוה ליה למיתני מאכילין אותן משלהן. ולי נראה דאינו קשה, שהרי לא היה להם כתובה תורה שבעל פה וגורסין על פי הקבלה, והיה ידוע להם היאך קיבלו הקריאה".

הרי כתוב כאן מפורש, שבזמן האמוראים עדיין לא נכתבה תורה שבעל פה.
וכן יש משהו ברש"י (ב"מ דף ל"ג:): שדורש התייחסות. וז"ל:

"בימי רבי נשנית משנה זו - הא דקתני תלמוד אין לך מדה גדולה מזו לפי שמשרבו תלמידי שמאי והלל שהיו לפניו שלשה דורות רבו מחלוקות בתורה ונעשית כשתי תורות מתוך עול שעבוד מלכיות וגזירות שהיו גוזרין עליהן ומתוך כך לא היו יכולים לתת לב לברר דברי החולקים עד ימיו של רבי שנתן הקב"ה לו חן בעיני אנטונינוס מלך רומי כדאמרינן בעבודה זרה (דף י.) ונחו מצרה ושלח וקבץ כל תלמידי ארץ ישראל ועד ימיו לא היו מסכתות סדורות אלא כל תלמיד ששמע דבר מפי גדול הימנו גרסה ונתן סימנים הלכה פלונית ופלונית שמעתי משם פלוני וכשנתקבצו אמר כל אחד מה ששמע ונתנו לב לברר טעמי המחלוקת דברי מי ראוין לקיים וסידרו המסכתות דברי נזיקין לבדם ודברי יבמות לבדם ודברי קדשים לבדם וסתם נמי במשנה דברי יחידים שראה רבי את דבריהם ושנאן סתם כדי לקבוע הלכה כמותם לפיכך אמרו בגמרא אין לך מדה גדולה מזו שיתנו לב לטעמי המשנה".

בכל האריכות בלשון רש"י הקדוש, יש שורש אחד שלא מופיע - וזה השורש כ.ת.ב. - שהיה מתבקש לכותבו אם רש"י היה סובר שרבי כתב את המשניות.
וכך מוכח שהתפארת ישראל הבין בדברי רש"י, כי במסכת ערכין פרק ד' משנה א' הוא מבאר מה הפשט בזה שלפעמים אומרת הגמ' 'חיסורי מחסרא והכי קתני' - וכי לא יכלו להגיה המשניות, ומתרץ התפארת ישראל וז"ל:

"ולפע"ד היה זה כדי לחזק המשנה בכח הזכרון, מדהיו שונין המשניות על פה אפי' בימי רבי [כרש"י מסכת בבא מציעא דף ל"ג עמוד א]. וע"י הניגון נזכר היטב לישנא דמתני', באשר שהיה הזמר מסודר לפי המלות והבבות שבמשנה".

וכך גם משמע ברש"י בתמורה דף יד:, שהגמ' שם אומרת וז"ל:

"והא אמר רבי אבא בריה דרבי חייא בר אבא א"ר יוחנן כותבי הלכות כשורף התורה".
וברש"י, "כשורפי התורה - שאין מצילין אותן בשבת בפני הדליקה. ל"א שאסור להשהותן כתובים דתורה שבעל פה היא".

היינו שללישנא אחרינא המשניות עוד לא נכתבו בזמן האמוראים.
וכן איתא בהקדמת הר"ן למסכת ברכות:

"וכאשר ראה (=רבי) העתקת האומה בדלדול ובחסרון בגירסא ובחכמה, וכאשר אמרו עירובין דף נ"ג. "לבם של ראשונים כפתחו של אולם ואנו כמלא מחט סדקית", וראה עוד מה שעבר על האומה מהגזירות והעול והיו ימיו ימי ישועה לקרבו מהמלך, עלה בלבו שיקבץ כל מה שיש בידם מהקבלה לפי שראה שאריכות יש בגלות. ונתקבץ עם חכמי דורו וקיבץ העקרים לאנשי אותו הזמן למשמרת לאות, ותקנה תיקון יפה וחברה חיבור נמרץ כפי חכמתו ופלפולו וקראה משנה".

שוב אנו רואים שלא מופיעה המילה כתב בהטיותיה השונות, למרות שמתבקש לכתוב כך.

לסיכום:
מתוספות הרא"ש, מרש"י ומהר"ן אנו רואים שס"ל שרבי לא כתב את המשניות, אלא רק סדרם בפרקים ובמסכתות ובסדרים, אבל עדיין הכל היה בע"פ.
וכן יש עוד הרבה הוכחות מראשונים רבים שסוברים שרבי לא כתב את המשניות.
(מאידך יש דיוקים אצל הרבה ראשונים שכן סוברים שרבי הוא הוא זה שהעלה על הכתב את המשניות, אך במאמר זה אני מתייחס אך ורק לשיטה שרבי לא כתב את המשניות).
אז לשיטתם, מי כן כתבם?
אין לי לזה תשובה ברורה, אך ממה שראינו הם סוברים שבזמן האמוראים המשנה עדיין לא נכתבה, ובזמן הראשונים היא בוודאי כבר היתה כתובה.
ולכן חייבים לומר שאו הסבוראי או הגאונים הם אלו שהעלו את ששה סדרי המשנה על הכתב.

ואשמח מאד אם אחד מהחכמים והרבנים כאן יוכל לשפוך אור על הענין, וכן אשמח לקבל מקורות נוספים בענין זה.